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Deux entiers à découvrir |
Cunégonde a raison: elle obtient une réponse affirmative en
un nombre fini d'étapes.
Soient A le nombre choisi par Anatole, et B celui choisi par Basile.
Cunégonde écrit deux nombres, soit P le plus petit des deux,
et G le plus grand
(éventuellement,P = G). Soit M = A+B. Anatole et Basile doivent deviner
si M = P, ou si M = G,
ce qui leur permet alors de déduire le nombre choisi par l'autre.
Etape 1: Anatole connaît A, P et G. Cunégonde le questionne.
Si Anatole remarque que P < A, alors il sait que nécessairement,
M = G. D'autre part, si P = G,
il déduit également la valeur M. Par contre,
si A <= P < G, il ne peut pas savoir quel nombre est M.
Donc soit Anatole répond "oui", et tout est terminé,
soit Anatole répond "non" et Basile en déduit alors
immédiatement que A <= P < G;
on entre alors dans l'étape 2.
Etape 2: Basile connaît B, P, G, et sait que A<=P. Cunégonde
questionne Basile.
Si P < B, alors Basile en déduit que M=G. Egalement, comme A+B <=
P+B,
on a nécesairement M = P si G >P+B.
Donc soit Basile répond "oui", soit Basile répond
"non" et Anatole en déduit
que l'on est dans la situation où G-P <=B <= P,
qui implique en particulier que G <= 2P. On entre alors dans l'étape
3.
Etape 3: Anatole connaît A, P, G, et sait que G-P <= B <= P.
Il en déduit que A+G-P <= M <= A+P.
Anatole répond "non" si et seulement si A+G-P <= P et
que G <= A+P,
car G-P <= A <= 2P-G (et "oui" dans le cas contraire).
Supposons donc qu'Anatole a répondu non.
Cette situation implique en particulier que 2G <= 3P. On entre alors dans
l'étape 4.
Etape 4: Basile connaît B, P et G.
Il sait que G-P <= A <= 2P-G donc que G-P+B <=M <= 2P-G+B.
Basile répond "non" si et seulement si on a G-P+B <= P
et G <= 2P-G+B,
car 2(G-P) <= B <= 2P-G. Supposons que Basile a répondu "non".
Cette situation implique en particulier que 3G <=4P. On entre alors dans
l'étape 5.
En raisonnant comme précédemment, on montre que si Arsène
répond non,
cela implique en particulier que 4G <= 5P.
A l'étape suivante, une réponse négative implique 5G
<= 6P, puis 6G<= 7P, etc..
Si l'étape n est atteinte, on a nécessairement (n-1)G <=
nP.
Mais il existe toujours un n suffisamment grand pour que cette égalité
soit fausse (car P < G,
le cas P = G étant trivialement éliminé dès l'étape
1).
Cela implique donc que la procédure s'est arrêtée avant
cette enième étape.